Земля и космос. От реальности к гипотезе - Страница 17

Если для данной силы ускорение становится меньше при увеличении массы, мы можем сказать, что ускорение обратно пропорционально массе.

Для того чтобы увидеть, как это может быть, обратимся к математическим соотношениям. Пусть m представляет массу. Введем понятие ¹/_m. Чем больше m (к примеру, 2, 3, 4, 5 и так далее), тем меньше отношение ¹/_m (соответственно ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅ и так далее). Фактически ¹/_m становится тем меньше, чем больше m, — абсолютно так же ускорение становится меньше при увеличении массы.

Если каждая из двух переменных пропорциональна третьей переменной, то эти две переменных прямо пропорциональны друг другу. Другими словами, если ускорение и ¹/_m обратно пропорциональны m, то ускорение прямо пропорционально ¹/_m. Тогда мы можем сказать:

Если ускорение прямо пропорционально каждой из двух различных величин, то оно прямо пропорционально произведению этих величин. Другими словами, если а прямо пропорционально f и ¹/_m (см. уравнения 1 и 2), то оно прямо пропорционально произведению f и ¹/_m. Таким образом, мы можем сказать, что:

Когда эти две величины прямо пропорциональны, а это означает, что в случае, если одна из них становится больше (или меньше), другая также становится больше (или меньше) в соответствующее число раз. Например, один параметр увеличивается в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза — результат увеличится строго во столько же раз: в 2 раза, в 5 раз или в 1,752 раза.

Но мы лишь определили пропорциональность, использовать же ее для расчетов нельзя, требуется уравнение. Для того чтобы составить уравнение, нужно определить коэффициент пропорциональности.

Если мы не знаем его точную величину, то можем пока использовать константу пропорциональности и обозначить ее буквой. Обычно — пусть и не всегда — константу обозначают буквой k. Почему именно k? Потому что эта идея была перенята у немцев, которые использовали слово «konstant».

Если затем мы умножим правую часть уравнения 3 на такую константу пропорциональности, мы наконец сможем написать желаемое уравнение:

Присутствие неопределенной константы пропорциональности — это вызов ученым, и они прикладывают все силы, чтобы ее определить. В данном случае мы вправе сами установить единицы ускорения, силы и массы и потому можем выбрать их так, чтобы значение константы равнялось единице. Конечно, единицу при умножении можно не ставить. При условии, что мы правильно выбрали единицы измерения, можем написать уравнение 4 следующим образом:

Простое алгебраическое преобразование дает нам следующую форму уравнения:

И именно это (наконец!) является тем, что написано на спинке моей майки.

Связь с Ньютоном объяснить нетрудно. То, что столь просто было изложено сейчас, оказалось простым только потому, что Исаак Ньютон впервые объяснил это в своей книге «Principia Mathematica» («Основы математики»), опубликованной в 1687 году. То, что я вам представил, — уравнение 6, — это самое простое выражение второго закона механики Ньютона.

Почему именно второго закона? Потому что был и первый закон.

Формулировка первого закона Ньютона выглядит следующим образом: «Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на него силы не изменят это состояние».

Постоянная скорость предусматривает нулевое ускорение. Таким образом, первый закон механики Ньютона в математических символах выглядит следующим образом: «Если f = 0, то а = 0».

Но если мы посмотрим на уравнение 6, то сможем увидеть (предположив, что тело имеет некоторую массу), что при f = 0 а должно быть равно 0:

Отсюда видно, что первый закон механики Ньютона — всего лишь особый случай второго закона Ньютона, а уравнение 6 описывает как первый, так и второй закон движения. Зачем тогда потребовалось формулировать первый закон? Разве Ньютон не видел, что с математической точки зрения это одно и то же? Конечно видел. Причина в том, что, определяя новую картину мира, он должен был сначала отбросить существовавшую прежде систему, и потому психологически важно было показать это первым.

Есть и третий закон механики, также выдвинутый Ньютоном. Этот закон утверждает, что если тело А воздействует с какой-то силой на тело В, то тело В воздействует с точно такой же силой на тело А.

Этот закон обычно называют законом действия и противодействия, хотя это название и не является удачным. Оно создает совершенно неверное впечатление, которое запутало бессчетное число людей.

Слова «действие и противодействие» заставляют думать, что А действует на В и после этого В действует на А. Это выглядит так, словно А берет на себя инициативу, а В только наносит ответный удар вроде самозащиты, после того как его атаковали, — изменение и противодействие изменению, выпад и ответный выпад, первый ход в шахматах и второй ход.

Это может привести к совершенно бесплодным рассуждениям. К примеру, после того, как А действует на В, через какое-то время В действует на А, и, если придумать что-то, чтобы после действия А и перед обратной реакцией В произошла какая-то работа, можно нарушить закон сохранения момента движения или сделать что-то вроде этого.

Проблема состоит в том, что действие и противодействие не существуют независимо. Третий закон следует назвать законом взаимодействия для обоих тел, которые действуют одновременно.

Вместо того чтобы долго доказывать это, я хотел бы пояснить на примере. Предположим, я говорю вам, что закон контакта Азимова гласит: «Если А касается В, то В касается А».

Вы думаете, что А сначала касается В, а лишь позднее В касается А? Вы считаете, что есть маленький, но конечный интервал между тем, как А касается В, и тем, как В касается А? Вы думаете, что вы можете рассматривать касание только лишь А или В? Или же вы должны рассматривать единство двух прикосновений, которые отделить друг от друга невозможно?

Конечно, я уверен, вы пришли к правильному выводу.

Теперь, когда мы знакомы с законами движения, давайте обратимся к силе притяжения, которую Ньютон также рассмотрел в «Principia Mathematica» («Основы математики») и о которой мы говорили в главе 5.

Если мы выпустим мяч из рук, он будет падать вниз с постепенно увеличивающейся скоростью. Другими словами, он будет с ускорением двигаться вниз. Из второго закона механики следует, что ускорение не может существовать без действующей на тело силы. Таким образом, чтобы не нарушать второй закон, необходимо постулировать гравитационную силу в направлении центра Земли, которая действует на любую массу. Чтобы обозначить эту особую силу тяготения, используем букву F.

Если бы сила гравитации была постоянной величиной независимо от природы падающего тела, тогда более массивное тело ускорялось бы меньше (то есть падало бы медленнее), чем массивное. Это наиболее просто выражено в уравнении 2.

Но это не так. Итальянский ученый Галилей примерно за столетие до опубликования «Principia Mathematica» провел эксперименты, убедительно доказывающие, что все тела, какую бы массу они ни имели, ускоряются одинаково во время падения (если мы не берем в расчет сопротивление воздуха).

Ну а если тело А вдвое массивнее тела В, тогда потребуется вдвое большая сила, чтобы заставить его ускоряться до той же величины. Соответственно, если тело А в пять раз массивнее тела В, то для него нужна в пять раз большая сила, чем для тела В, и так далее.