Круг Ландау - Страница 146

Возьмем произвольный номер a,b — c,d и рассмотрим три случая.

1. Пусть среди цифр нет нулей. Составим из них два числа ab и сd, (это, разумеется, не произведения) Покажем, что при n >= 6

sin [(ab)!]° = sin [(cd)!]° = 0.

Действительно, sin (n!)° = 0, если n >= 6, так как sin (6!)°= sin 720°= sin 2∙360° =0. Любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6!7, 8! = 6!•7•8 и т. д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (и тангенс тоже) равным нулю

2. Пусть в какой-то паре цифр есть ноль. Умножаем его на соседнюю цифру и приравниваем к синусу факториала в градусах, взятого от числа в другой части номера.

3. Пусть в обеих частях номера имеются нули. При умножении на соседние цифры они дают тривиальное равенство 0=0.

Разбиение общего решения на три пункта с умножением на ноль в пунктах 2 и 3 связано с тем, что sin (n!)°=/ 0, если n < 6.

Разумеется, нетрудно построить аналогичным образом общее решение, сводя левую и правую части к равенству косинусов от дуг, кратных полным окружностям, что даст 1 = 1.

Попутно отметим, что частные решения, предложенные В. Донченко (Наука и жизнь № 6, 2001) с использованием sin (7!)°, по существу реализуют ту же идею.

Таким образом, игра Ландау проходит и развивается двумя путями: Во-первых, идет поиск частных решений, множество интереснейших вариантов которых было предложено читателями журнала. А во-вторых, проходит не менее захватывающая работа по отысканию общих решений. Естественно, что все они автоматически запрещаются для применения в игре, ибо в противном случае игра перестает быть таковой.

На сегодня имеется три общих решения, находящиеся в разрешенных правилами рамках элементарной математики.

1. Решение неизвестного харьковского математика, сообщенное учеником Ландау профессором М. Кагановым <уже после выхода этой заметки М. Каганов сообщил его имя — Юрий Палант> Оно содержит «архаичный» секанс и сводит любое число к числу, на единицу меньшему, позволяя в конце концов получить равенство в любой паре номеров (Наука и жизнь № 1,2000):

N + 1 = sec arctg N

2. Решение кандидата физико-математических наук С. Федина, которое использует аналогичную идею, но обходится без устаревшего секанса (Наука и жизнь № 4, 2000):

N + 1 = tg arcctg cos arctg √n

3. И. наконец, приведенное выше решение автора настоящей заметки, приводящее к цели гораздо быстрее.

Доктор геолого-минералогических наук,

кандидат физико-математических наук Б. Горобец (Москва)

Исследования показали, что все возможные комбинации номеров от 00–01 до 99–99 разделяются на две группы.

Номера, правые и левые части которых удается решить с помощью математических знаков +, —, х, √, lg, log и символа!.

Все остальные номера, правые и левые части которых приводятся с помощью упомянутых знаков к соотношениям 0 — √2, 0 — √3 и √2 — √3. После этого их можно уравнять с помощью универсальной формулы, сообщенной М. Кагановым, или аналогичной, полученной мною после ряда тождественных преобразований и извлечения квадратного корня:

N — 1 = (√N)² — 1 = sec²arcsec(√N) — 1 = 1 + tg² arcsec(√ N) — 1 = tg² arcsec(√N)

И. Довганчук (Новосибирск)