Хаос и структура - Страница 221
Специальная теория числа. Здесь также проводится классически–триадное разделение:
а) науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (арифметика, алгебра, анализ),
b) геометрические науки об инобытии или явлении числа, об экстенсивном числе,
c) теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе.
Второй и третий разделы, строго говоря, нужно отнести к утратам. Исчез, например, целый том по геометрии, о котором несколько раз (227, 302) А. Ф. Лосев упоминает и куда отсылает за подробностями. Однако примем в расчет, что логико–диалектической проработкой геометрических идей автор занимался уже на страницах книги «Античный космос и современная наука». С тем же упреждением осваивалась и теоретико–множественная проблематика, если иметь в виду раннюю «Музыку как предмет логики». Словом, уже дошедшего—много. Даже одно только напоминание о глубинном единстве наглядно–геометрических и счетно–арифметических подходов, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, будет весьма кстати сегодня, когда философы и математики все еще бьются над во многом уже решенными, как оказывается, проблемами. Для примера укажем на оппозицию «арифметического» (Rechnen) и «геометрического» (Zeichnen), о которой всерьез заговорил за рубежом Д. Фанг, а у нас—К. И. Вальков [264]. Пора на самом деле «обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (389), а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом «единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности» математики или же вместо одной крайности — излишней «арифметизации» впадать в другую — в крайность «геометризма» [265].
Бытие числа (интенсивное число). Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно А. Ф. Лосеву, в виде диалектической триады:
a) арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,
b) дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,
c) векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном (442).
Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако определенный анализ диалектической сущности, например, интеграла и дифференциала также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела в некоторой мере восполняет публикуемая в настоящем томе работа А. Ф. Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно–малых».
Арифметика и алгебра. Внутри первой сферы интенсивного числа А. Ф. Лосев выделяет очередную триадическую структуру:
a) арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,
b) алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,
с) алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении (430, 446).
Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики» (23), степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце целого тома. Все дальнейшее кануло в Лету. Да и от собственно арифметической части книги сохранилось далеко не все. Так что, предприняв еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры, и последние утраты.
Арифметика. Внутри арифметики, согласно общедиалектической схеме А. Ф. Лосева, следует различать:
a) натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания,
b) типы чисел (отрицательные, рациональные, мнимые и др.) как инобытие чисел натурального ряда,
c) действие с числами как становление сущности числа, типы чисел в разнообразных направлениях и комбинациях счета (ООО).
Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» обрывается на материалах заключительной части второго из названных разделов. Впрочем, в предыдущем изложении заключено достаточно общих указаний и конкретных примеров, по которым вполне уверенно достраиваются логико–диалектические аналоги для арифметических операций.
На полученную последовательность—анфиладную последовательность одна в другую врастающих триад—еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает А. Ф. Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число как первая категория, первая «осмысленная, оформленная по ложенность, категориально оформленная положенность» (105), как «слепительное», напомним, «Да» составляет саму основу математических объектов. Все есть число. Остается только оговорить: ту перво–категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает любые закоулки величественного здания математики, не обязательно называть «числом». Действительно, в угоду пуританской строгости можно окрестить фундаментальную логико–диалектическую конструкцию каким–либо специальным термином, к примеру назвать ее по случаю и в честь А. Ф. Лосева «L–выражением» или же, в более математизированном духе, «L–кортежем» [266]. Далее придется поступить так, как уже приходилось действовать в области математической логики, т. е. в области формальной, нелосевской метаматематики, причем именно в 30–х годах. В частности, там вместо интуитивно ясного, но строго не определенного понятия «вычислимой функции» стали тщательно изучать свойства так называемых «общерекурсивных функций», определяемых уже алгоритмически точно. Далее было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изобразительной мощи, чтобы заместить собой несколько расплывчатое понятие вычислимости. Наконец, между классами содержательных и формальных функций была провозглашена эквивалентность (в форме «тезиса Черча»), — именно провозглашена, а не доказана, поскольку последнее невозможно ввиду принципиально различной природы сравниваемого. Желающим увековечить свое имя в новом «тезисе» можно предложить аналогичную проверку для числа и L–кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические основы математики», нетрудно убедиться, что А. Ф. Лосев сам положил много усилий для демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью воспроизводит» логико–диалектические прообразы (294).
Обозревая теперь лосевский проект метаматематики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной из математических наук, арифметики, мы можем наконец судить и о замысле— он масштабен, и о степени его воплощения — при многих потерях и необходимых оговорках все самое трудное свершено, все главное было сформулировано и предано бумаге. Обозревая труды, в невольном одиночестве исполненные А. Ф. Лосевым, можно констатировать, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской метаматематикой, а саму диалектику как основное орудие этой метаматематики теперь «можно считать <…> настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти» — и, как мы знаем, успешно–таки вошла — «в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» (424).
§ 6. ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ
Итак, определенный период научной биографии А. Ф. Лосева, пройденный, по его собственной квалификации, под знаком ярко выраженного «отвлеченно–диалектического эроса», вполне закономерно завершился систематическими логико–математическими исследованиями. Как бы ни относиться к некоторым лосевским сочинениям, «гипертрофированным в смысле логики и диалектики» (В. М. Лосева), к этому всеохватному «унифицированному строительству из диалектических блоков» (С. С. Хоружий), ясно и достоверно следующее: мощный творческий эрос позволил А. Ф. Лосеву занять достойное место в ряду немногих подлинных мыслителей, для которых постижение интегрального целого, обретение Логоса в Хаосе было превыше всего. До А. Ф. Лосева в этот ряд входили и входят преимущественно естествоиспытатели — отечественные созидатели систем, прежде всего Д. И. Менделеев, Е. С. Федоров, В. И. Вернадский, Н. И. Вавилов, А. А. Любищев, среди современных исследователей — Г. М. Идлис, Ю. А. Урманцев, Ю. И. Кулаков. Последний из названных, вспоминая предысторию созданной им теории физических структур, высоко оценивал совет своего учителя И. Е. Там–ма, выдающегося физика–теоретика: в поисках «единого универсального языка» природы нужно вооружаться примером «прежде всего русских философов», которые «о многом догадывались, хотя и не могли сформулировать свою идею всеединства» достаточно строго [267]. Творчество А. Ф. Лосева показывает, что русская философия оказалась способна не только «о многом догадываться», но и «многое сформулировать».