Хаос и структура - Страница 208

Но что же это за закон суммирования и воссоединения? Закон становления и распыления есть предел становления и распыления. Точно так же закон суммирования должен быть определенным пределом, который бы из бесконечности четко управлял этим процессом суммирования. Ясно, что таким пределом и является наша первообразная функция, потому что из нее и начался процесс становления, к ней и должно вернуться инобытие из своего бесконечного становления. Она—предел этого возвращения, т. е. предел суммирования всего распыленного. Это она видится в глубине восстановительного процесса и скрыто им управляет. Ее мы и должны найти, созерцая восстановительные пути инобытия.

Отсюда, интеграл есть, очевидно, предел суммы всех дифференциалов. Или, говоря пространнее, это есть предел бесконечно–большой суммы всех бесконечно–малых приращений функции.

Тут мы получаем уже более четкое определение интеграла, которое мы не можем получить, понимая интегрирование как действие, обратное дифференцированию. Только в определении интеграла как предела суммы всех дифференциалов мы обнаруживаем истинную восстановительную и синтетическую природу интеграла. Трактование интегрирования как действия, обратного дифференцированию, хотя оно вполне точно, не обладает такой выпуклостью, которую дает определение через суммирование.

К этому определению интеграла должно быть сделано несколько примечаний.

Прежде всего, как в анализе понятия производной, так и здесь мы должны получить основную стихию, в области которой разыгрываются эти понятия. Это — стихия становления, алогического становления, где мы находим полную неразличимость всех отдельных моментов, хотя они и даны как внеположные. Трактуя о бесконечно–малом, мы выдвигаем на первый план эту идею бесконечного процесса, где все отдельные моменты слиты в единый неразличимый поток. То же самое мы всегда должны помнить и в применении к интегралу. Интеграл также содержит в себе стихию алогического становления, и в нем также отдельные моменты этого процесса слиты в один внутренне безразличный поток. Правда, значимость этого потока здесь иная, но самый процесс, его алогичность тут одни и те же. Какой бы раздельной величиной ни являлась данная величина, все равно, раз она интеграл, она мыслится перекрытой стихией алогического становления и видится и сквозит через данную стихию как ее предельный контур.

Далее, необходимо заметить, что предыдущее определение интеграла есть, в сущности, определение того, что обычно называется «определенным» интегралом. Если мы просто напишем, как это понимается всегда,

∫ƒʹ(x)dx=ƒ(x)

то тут утверждается: ƒ(x) есть производная функции ƒ(x) и ƒ(x)dx есть ее дифференциал; интеграл же от этой функции и есть сама первообразная функция y=f(x). В этом способе выражения на первом плане стоит понимание интегрирования как действия, обратного дифференцированию. Однако если мы выдвинем на первый план момент предельного суммирования, то ясно, что это суммирование предполагает определенные пределы, в которых совершается данное суммирование. Тут имеется в виду процесс, который в общем можно обозначить так:

∫ƒʹ(x)dx=ƒ(b)-ƒ(a)

Тут имеются два соседних значения функции f(a) и f(b), между которыми и происходит процесс суммирования бесконечно–малых приращений. Этот процесс можно изобразить при помощи суммирования бесконечного количества таких разниц:

ƒʹ(b ₁)-ƒʹ(a);ƒʹ(b ₁)-ƒʹ(b ₂); ƒʹ(b ₃)-ƒʹ(b ₂)и т. д.

Но ясно и так, что этот процесс разыгрывается между значениями а и b, в пределах между а и b, и что только в этом случае процесс суммирования получает законченную форму. Такой интеграл, который является результатом суммирования в определенных пределах, называется определенным интегралом в отличие от интеграла, не содержащего этих пределов и носящего название неопределенного интеграла. Ясно после этих разъяснений, что, хотя в обычных руководствах по анализу изложение начинается с неопределенных интегралов, логически, а также исторически первенство остается за понятием определенного интеграла. И только игнорирование интеграла как результата суммирования и выдвижение на первый план интеграла как результата взаимообразного действия с дифференцированием приводит к тому, что целесообразным считается начинать именно с неопределенных интегралов.

В заключение этого параграфа полезно подвести диалектический итог учению о приращениях и связанных с этим понятий дифференциала и интеграла.

Во–первых, после предыдущего рассуждения должна быть ясна такая тройственная последовательность. Если мы возьмем функцию саму по себе, у =ƒʹ(x), т. е. функцию в ее непосредственном бытии, то антитезой к ней будет, очевидно, переход ее в инобытие, в становление. Инобытийное становление для функции, как и вообще для всего, есть система бесконечно–малых приращений. И следовательно, если функция в себе есть тезис, то диалектическим антитезисом, отрицанием ее будет функция вне себя, функция в области нарастающего становления. Но тогда синтезом функции в себе и функции вне себя будет, очевидно, функция как интеграл, потому что в функции как интеграле дана, во–первых, она сама и, во–вторых, дано перекрытие ее суммой всех ее бесконечно–малых наращений. Функция—тезис, ее наращение, дифференциал — антитезис, интеграл—синтез.

Далее, можно диалектически расчленить и среднюю область из только что указанных, область дифференциала. Тут мы имеем 1) приращение аргумента Ах, 2) приращение функции ∆у и 3) предел их взаимоотношения

Таким образом, получается следующая резюмирующая диалектическая схема.

1. Функция в себе, y=f(x).

2. Функция вне себя. Ее становление:

a) дифференциал аргумента, dx,

b) дифференциал функции, dy,

c) производная

3. Ставшая функция — интеграл ∫y´dx=ƒ(x).

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛbНОЕ И ИНТЕГРАЛbНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ИХ ЛОГИЧЕСКИЙ СОСТАВ

1. Дифференциальное исчисление. Теперь мы знакомы со всеми основными категориями исчисления бесконечно–малых, и теперь мы можем наметить основную структуру и двух главных наук, из которых и состоит математический анализ, — дифференциальное и интегральное исчисления. Начнем с дифференциального исчисления. Сумбур, царящий в обычных изложениях этой науки, когда в одну кучу валится ряд почти не связанных между собой проблем, заставляет с особенной тщательностью и критикой относиться к реальному содержанию того, что мы тут находим. Отбросим то, что обычно называется «введением в анализ», эту смесь алгебры, геометрии, тригонометрии, анализа и многих других вещей; к тому же основные категории этого введения рассмотрены нами в предыдущем изложении. Далее, отбросим всякие геометрические и механические приложения, которые — в порядке системы — занимают место именно приложений, а не центрального содержания науки. Наконец, отбросим и всю технику доказательств и вычислений и сосредоточимся только на существенном содержании центральных положений науки, выставляя на первый план логическую связь и последовательность развития существа дифференциального исчисления.

Общее содержание этой науки, если отбросить все приложения, все детали и всю технику демонстрации, представляется в виде следующих трех проблем.

Прежде всего, первая большая проблема и первый большой отдел дифференциального исчисления — это само дифференцирование функций. Чтобы внести ясность в структуру этого отдела, необходимо четко формулировать, во–первых, процесс самого дифференцирования, во–вторых же, классификацию функций.

Что касается первого вопроса, то общая формула дифференцирования является не чем иным, как развитым приложением самого понятия производной. Так как дифференцировать функцию — значит найти ее производную, то ясно, что процесс дифференцирования может состоять только из последовательного приложения элементов, входящих в самое понятие производной. В развитой форме это дифференцирование представляют в виде четырех приемов: 1) к аргументу и функции присоединяется приращение —