Хаос и структура - Страница 205

Итак, изменяется аргумент, изменяется в зависимости от него и функция. Употребляя традиционные обозначения математического анализа, мы получим следующее. Если x —аргумент, ∆х будет приращением аргумента x. В зависимости от этого функция у тоже будет нарастать; обозначим приращение функции через ∆у. Чтобы узнать, какой вид примет наращение функции, возьмем приращенную функцию ƒ(x+∆x) и вычтем из нее первоначальную функцию y=ƒ(x). Получаем: ƒ(x+∆x) — ƒ(x). Это есть то наращение, которое происходит в функции, когда получается наращение аргумента ∆х Следовательно, если

y=ƒ(x)

ТО

∆y=ƒ(x+∆x) — ƒ(x)

и, беря отношение обеих частей этого равенства к Δχ, мы получаем

Это и есть математческое выражение того нового отношения, в которое вступают χ и у, когда они берутся не сами по себе, не статически, но когда они погружаются в процесс становления, т. е. начинают нарастать или убывать. Это рассуждение (и обозначение) обычно еще не вполне достаточно, и требуется его существенно дополнить в одном пункте.

Именно, нас ведь интересуют не приращения вообще, но бесконечно–малые приращения и не процесс вообще, но именно алогическое становление. Мы раньше уже видели, что в понятии бесконечно–малого дано не просто изменение величины, но изменение самого изменения, становление изменения, почему оно не просто налично тут как таковое, но оно дает все меньшие и меньшие результаты, оно все меньше и меньше оказывается изменением. Сама категория изменения тут, очевидно, вовлечена в становление.

И только при этом условии переменная величина может быть бесконечно–малой. Она должна иметь своим пределом нуль—только тогда она действительно бесконечно мала.

Применяя это к нашему рассуждению, мы должны ∆х считать бесконечно–малым. ∆х должно стремиться к нулю, оно должно иметь своим пределом нуль. Но тогда существенно меняется вся картина выставленного выше отношения

. Именно, Ах становится все меньше и меньше. Соответственно и Δу должно становиться все меньше и меньше. Чтобы конкретно представить себе новые значения аргумента χ в связи с уменьшающимся приращением ∆х, вычислим соответственно новые значения функции, уменьшающиеся приращения функции, а также и отношение мы получим примерно след. табличку.

Начальное значение

X

Новое значение

Приращ. Δy

ННачальное значение

У

Новое

Приращ. Δ

у

X

значение

у

3

4

1

10

17

1

7

3,9

0,9

16,21

6,21

6,9

3,8

0,8

15,44

5,44

6,8

3,7

0,7

14,69

4,69

6,7

3,6

0,6

13,90

3,90

6,5

3,001

0,001

10,006001

0,006001

6,001

Пусть у нас имеется функция

у = х ² + 1

и пусть начальное значение x: будет 3. Тогда начальное значение у=3 ²+1 = 10. Возьмем теперь какое–нибудь новое значение x, напр. 4, тогда y =4 ²+1 = 17. В первом случае приращение будет

Δ.γ = 4 — 3 = 1,

во втором случае приращение будет

∆у— 17— 10 = 7.

Следовательно,

= =7.

Будем теперь постепенно уменьшать Δx, придавая ему значения 0,9; 0,8; 0,7 и т. д. Соответственно будет меняться χ и также у, а стало быть, и

. Мы действительно видим, что принимает все меньшие и меньшие значения: 7; 6,9; 6,8; 6,7 и т. д. Спрашивается: до каких же пор будет это отношение уменьшаться? ∆х стремится к нулю. К чему же стремится ?

Чтобы ответить на этот вопрос, представим вышеприведенное выражение — при помощи данной формулы у=χ ²+1. Именно, взявши приращенную функцию, получаем:

у+∆у=(х+∆х) ²+1 = χ ²+ 2χΔχ+(Δχ) ²+1,

откуда

∆у = х ²+ 2х∆х + (∆х) ²+1—(х ²+1) =

=χ ²+2χΔχ+(Δχ) ²+1 — χ ^2 —1 = 2х ∆х+(∆х) ².

Следовательно,

Итак, чтобы судить о том, к чему стремится

, достаточно полученное выражение 2х+∆х взять в пределе, т. е. в условии стремления ∆х к нулю. Очевидно, если Ах стремится к нулю, то стремится к 2х, так как ∆х, как стремящееся к нулю, стремится просто отпасть. Значит, если начальное значение аргумента χ у нас было 3, то предел отношения будет равен, очевидно, 2–3 = 6.

И действительно, просматривая в нашей табличке значения

, мы видим, что оно постепенно уменьшается, но не становится меньше 6. Если бы мы взяли, напр., ∆х = 0,001, то, как показывает вычисление, оказалось бы равным 6,001. Легко проверить это, подставляя все меньшие и меньшие ∆х и получая отсюда все меньшие и меньшие , но не становящиеся меньше 6. 6—это предел, Δχ к которому стремится если брать функцию у=х ²+1 при начальном значении х=3.

На этом простейшем примере отчетливо видно, какую форму приобретает взаимоотношение χ и у, когда оно начинает действовать не само по себе, но в своем инобытии, в своем становлении, когда они сплошно и неизменно растут или вообще меняются.

Предел этого отношения

, когда ∆х стремится к нулю, и есть производная, т. е. функция, «произведенная» от у, которую называют первообразной функцией. Следовательно, производная данной функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к нулю как к своему пределу.

Не будем забиваться в абстрактные дебри, как это любят делать математики, давая это понятие в дифференциальном и интегральном исчислении. Также недостаточны для понимания производной и те геометрические и механические привнесения и толкования, которыми математики уснащают свои руководства, думая на них конкретизировать это отвлеченное понятие. Надо, однако, еще до этих применений и толкований научиться понимать эту замечательную категорию, понимать всю ее жизненную и, следовательно, философскую конкретность.