Хаос и структура - Страница 190

Вы встречаете знакомого и говорите ему: «Как вы постарели!» или «Как вы помолодели!» Что это значит? Это значит прежде всего, что вы сравнили его теперешний вид с тем, что он был, напр., три года назад. За эти три года ваш знакомый постарел. Но ведь он жил, конечно, вполне непрерывно в течение этих трех лет? Совершенно верно. И вы теперь констатируете известный результат? Совершенно верно. Однако в таком случае вы, конечно, просто–напросто проинтегрировали известную функцию (т. е. вашего знакомого) в точно определенных пределах (а именно в пределах тех трех лет, в течение которых вы его не видели). Вы получили т. н. определенный интеграл.

Однако вовсе нет необходимости для подтверждения нашего ежесекундного интегрирования ссылаться на физические длины, площади, объемы или временные промежутки. Закроем глаза, заткнем уши, забудем все обоняния и осязания и погрузимся в сосредоточенное размышление, — и мы тут никуда не уйдем от ежемгновенного интегрирования. Пусть мы что–нибудь мыслим, ну, хотя бы т. н. Смутное время на Руси в начале XVII в., Наполеона, Солнечную систему, римский сенат, план новой гидростанции. Что бы мы ни мыслили, мы всегда мыслим нечто. И как бы мы это ни мыслили, мы в нем нечто различаем и это различаемое соединяем в целое. Всякое такое нечто как едино–раздельное целое не может не быть непрерывностью —уже по одному тому, что оно есть нечто и это «нечто» разлито по всем его отдельным элементам. Но что же такое целое, определенное целое, возникшее из непрерывного суммирования своих частей? Оно опять есть интеграл. Без интегрирования никуда не деться, если только брать существующее в непрерывном становлении. Только ценою устранения непрерывного становления из вещей можно обойтись без интегрирования. Но вещи, которые не становятся непрерывно, не есть реальные вещи. Это фикция, фантом, жалкая абстракция или пылкая фантазия, но не действительность.

3. С другой стороны, всякое нахождение частностей на фоне общего при условии непрерывного их возникновения, а также при условии знания способа или метода (если не закона) такого возникновения возможно только как дифференцирование. Найти производную—это и значит овладеть способом проявления вовне некоей функции в зависимости от ее непрерывного изменения. Если вы наблюдаете течение горной реки и видите, как стекающие с высоты струи воды образуют около какого–нибудь камня определенной формы водоворот, — вы бессознательно дифференцируете общую функцию потока воды по этому «аргументу», т. е. по времени протекания этого потока вокруг торчащего камня. Находясь в местности, подверженной периодическому влиянию ветров, вы, зная характер изменения ветра в известное время, несомненно, дифференцируете общую функцию ветра по времени. Так, в селении, расположенном недалеко от гор, вечером и ночью дует определенной силы ветер. Заметить и оценить это мы можем только путем дифференцирования. Когда мы говорим, пишем, ходим, работаем, даже просто слушаем, мы всегда имеем дело с некоторым непрерывным процессом и с целесообразным, закономерным получением тех или иных результатов — речи, устной и письменной, ходьбы, работы, слушания. Но тогда все это есть акты нашего бессознательного дифференцирования тех или иных функций речи, работы, ходьбы и т. д. по времени. Общий метод получения этих частных результатов на фоне непрерывного изменения той или иной функции в связи с протеканием времени и есть в данном случае производная. Так, я решил идти по улице быстро или медленно. Это значит, что я вычислил определенного рода производную (т. е. скорость) на основании общей функции своего хождения в связи с протеканием времени. Если бы балерина не дифференцировала своего движения по времени и не интегрировала бы его в течение всех моментов этого движения, танец ее не мог бы состояться и она осталась бы без движений. Впрочем, однако, и неподвижность тоже протекает во времени, и притом протекает непрерывно, так, что даже остановиться в своем движении нельзя без целого ряда актов интегрирования и дифференцирования.

4. Словом, абсолютно везде, где есть непрерывное становление (а где его нет?), мы всегда, как только раскрываем рот, чтобы нечто об этом высказать, уже дифференцируем и интегрируем, ибо везде тут мы нечто расчленяем, т. е. полагаем границы, пределы, т. е. устанавливаем законы для бесконечно–малых становлений. Наблюдая побеление на востоке при восходе солнца, мы интегрируем наше восприятие, ибо побеление, во–первых, есть непрерывный процесс, во–вторых, это есть суммирование бесконечно–малых нарастаний и, в–третьих, в нем есть определенная закономерность этого суммирования, т. е. его предел. Что же это, как не интегрирование? Софизм об Ахиллесе и черепахе только потому и обладает такой эффектной силой, что он дает нам движение вне категорий интеграла и производной. Ибо как только возникает вопрос о том, можно ли движение представлять как только состоящее из конечных отрезков, т. е. без перехода к пределу, так рушится здесь и весь софизм. Софизм об Ахиллесе и черепахе хорош как раз именно тем, что он доказывает невозможность воспринять реальное движение и скорость, а также и сравнивать скорости без.процессов дифференцирования и интегрирования.

Может ли, спросим теперь, наука о мышлении обойтись без понятия интеграла? Обойтись без этого значило бы просто исключить всякое непрерывное становление и всякий переход к пределу, т. е. заморозить, остановить, удушить всякое движение в мире и в мысли. Едва ли эта концепция может рассчитывать на успех.

Можно сказать еще и так. Традиционная логика (да и вообще логика) очень злоупотребляет анатомией мышления и очень пренебрегает его физиологией. Мудро распределить анатомические и физиологические моменты в цельном организме мышления — это дело большого искусства философствовать и строить науку, ибо организма нет ни без анатомического строения, ни без физиологических функций, ни без определенного и полного взаимоотношения того и другого. Когда школьная логика просто делит род на виды, и больше ничего, она явно злоупотребляет анатомией, если не прямо вивисекцией. Так никогда не может быть, если только мышление есть организм. Есть в мышлении некоторая общая «физиологическая» жизнь, которая и оживляет все органы и члены ее организма и которая воссоединяет их в одно живое целое. Но как подступить к этой «физиологии» мышления? Очевидно, надо прежде всего уметь чувствовать, понимать и фиксировать его движение, подвижность; далее, для этого надо уметь находить здесь непрерывное движение, непрерывное становление, разлитые по всем органам и членам мыслительного организма; наконец, надо уметь видеть, в каком направлении, по какому закону и принципу, до какого предела простирается становление этого взаимоотношения организма со своими органами и частями, по какому методу из общей жизни организма мышления образуются все его частности, все бесконечные, то более точные, то менее точные, его проявления и выражения. Однако мы уже доказали, что все это есть не что иное, как постоянное математическое интегрирование и дифференцирование.

5. Рассуждая о жизненно логическом значении математического анализа, необходимо иметь в виду также и то, что на этом значении базируются не только наши повседневные жизненные оценки и поведение, но и всякая развитая наука и что, таким образом, некоторого рода дифференцирование и интегрирование фактически налично даже и в таких науках или в таких отделах наук, которые не имеют ничего общего с чисто математическим дифференцированием и интегрированием. Однако здесь мы предоставим слово Энгельсу, который лучше, чем кто–нибудь другой, понимал философскую природу инфинитезимального метода и которому принадлежат следующие замечательные слова (соответственно той картине мироздания, которую имел в виду сам Энгельс):

«Наша геометрия исходит из пространственных отношений, а наша арифметика и алгебра—из числовых величин, соответствующих нашим земным отношениям, т. е. соответствующих телесным величинам, которые механика называет массами, — массами, как они встречаются на Земле и приводятся в движение людьми. По сравнению с этими массами масса Земли кажется бесконечно великой и рассматривается земной механикой как бесконечно большая величина. Радиус Земли =∞. Таков принцип механики при рассмотрении закона падения. Но не только Земля, а и вся Солнечная система и все встречающиеся в ней расстояния оказываются с своей стороны бесконечно малыми, как только мы начинаем интересоваться наблюдаемой в телескоп звездной системой, расстояния в которой приходится определять уже световыми годами. Таким образом, мы имеем здесь перед собой бесконечные величины не только первого, но и второго порядка и можем предоставить фантазии наших читателей — если им это нравится—построить себе дальнейшие бесконечные величины высших порядков в бесконечном пространстве».