Черная маска из Аль-Джебры - Страница 26

Привели подобные. Получилось: 5х — 20 = 145.

— Вот теперь и в самом деле можно приступить к восстановлению.

Перенесли число минус 20 в правую сторону с обратным знаком. Вышло, что 5х= 165, а х=33.

Я забыл тебе сказать, что составляли и решали уравнение мы не на бумаге: нам помогали живые буквы и цифры. А как только уравнение было решено, расколдованный Икс помахал нам своей маской и убежал. Мы стали проверять ответ и построили стену. И все оказалось правильно: 33 + 31 + 29 + 27 + 25 = 145.

Потом мы увидели того самого карликана, который собирался рыть котлован для фундамента. Он стоял возле одного Составителя, и они решали его задачу. Мы подошли и стали помогать. Это уравнение оказалось посложней первого.

— Итак, — сказал Составитель, — у вас три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Неважный, наверное, экскаватор. Вы хотите, чтобы все три работали одновременно. Конечно, так они выроют котлован быстрее. Но за какое время? Составим уравнение. Что примем за Икс?

— Время, за которое все три экскаватора выроют весь котлован, — предложил я.

— Верно. Давайте дальше.

Тут я, как назло, запнулся. Ни туда ни сюда.

— Ладно уж, — сказал Составитель, — придется помочь. Выясним, какую часть котлована выроет каждый экскаватор за один час? Для этого условимся, что объем всего котлована равен единице.

— И что из этого следует? — спросил Сева.

— А из этого следует, — догадался я, — что первый экскаватор за час выроет одну четверть котлована, второй — одну треть, третий — одну двенадцатую.

— Ну конечно! — обрадовался Составитель. — Какую же часть они выроют за час, если будут работать все вместе?

На этот раз ответил Сева:

— Вот какую: 1/4 + 1/3 + 1/12

— Молодец! А за икс часов?

— А за икс часов они выроют в икс раз больше, — сказала Таня. — Это и будет весь котлован, объем которого мы приняли за единицу.

Так у нас получилось уравнение: х(1/4 + 1/3 + 1/12) = 1.

Ну, а решить такое уравнение было уже совсем легко: 8/12х = 1.

Значит, Икс равен двенадцати восьмым, или х = 3/2.

Выходит, что три экскаватора, работая вместе, выроют котлован за полтора часа.

Неловко об этом говорить, но мне было очень приятно, когда маска с Икса упала и он стал нас благодарить.

Карликан заторопился к своим экскаваторам, а Составитель тут же предложил решить еще одну задачу, точно такую же, но… Что это за «но», ты сейчас поймешь.

— Признаться, надоели мне такие уравнения, — сказал Составитель, — слишком часто приходится их составлять. Везде идут стройки, везде роют котлованы. Пора бы уж сразу найти один ответ на все подобные вопросы. Ведь мы как-никак живем в Аль-Джебре…

— И потому должны упрощать и обобщать, — докончил Сева.

— Уж конечно! Не хотите ли вместе со мной вывести такое единое решение?

Мы молча кивнули, и Составитель начал:

— Так как экскаваторы бывают разных мощностей, то пусть первый из них роет котлован за а часов, второй — за b часов, ну а третий, допустим, за с часов. Спрашивается, за сколько часов выроют они котлован, если будут работать вместе?

— По-моему, — сказал я, — решение должно быть таким же, как и в предыдущей задаче. Только та задача была в числах, а мы ее изобразим буквами. Снова примем за Икс число часов, необходимое, чтобы закончить работу, а всю работу — за единицу.

— Так-так-так, — подбадривал Составитель.

Теперь рассуждала Таня:

— Очевидно, первый экскаватор совершит за час 1/а часть работы. Это, наверное, читается так: одну атую часть работы?

— Хорошо, хорошо.

— Тогда второй, — сказал Сева, — за час совершит одну бэтую: — 1/b, а третий одну цэтую: 1/c часть работы. А все вместе они выроют за час сумму этих дробей; 1/a + 1/b + 1/c.

Теперь нетрудно составить уравнение, — ведь за икс часов они выполняют работу в икс раз большую: x(1/a + 1/b + 1/c).

И все это должно быть равно единице: x(1/a + 1/b + 1/c) = 1.

Вот вы и составили уравнение, — похвалил Составитель.

— Теперь приведем подобные, — сказал Сева. Вспомнил, наверное, как он недавно оплошал.

— Нет, — возразил Составитель, — здесь я не вижу никаких подобных. Просто надо сложить три дроби, которые стоят в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю и введем дополнительные множители у каждой дроби.

— Это мы знаем, — вмешалась Таня и тут же написала: 1/a + 1/b + 1/c = bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc, или x*(bc + ac + ab)/abc = 1

— Вот какой огромный коэффициент оказался у Икса! — заметил Сева. — С таким провожатым ничего не страшно.

— Что же остается сделать, чтобы найти Икс? — спросил Составитель.

— Разделить правую часть уравнения — единицу — на этот коэффициент, — ответила Таня.

х = 1:(x*(bc + ac + ab) / abc)

С этим она справилась быстро: x = abc/(bc + ac + ab)

Икс подошел к Тане и поклонился, помахав вместо шляпы черной маской. Д'Артаньян, да и только!

— Вот вам и уравнение, пригодное для любых трех экскаваторов, — сказал напоследок Составитель. — Может быть, хотите проверить?

Тут уж пришел на Севину улицу праздник. Подставлять — его любимое занятие. Вместо а, b и с он подставил числа из предыдущей задачи — 4, 3 и 12:

x = 4 * 3 * 12 / (3 * 12 + 4 * 12 + 4 * 3) = 144/96.

Сократил дробь и получил: x = 3/2.

— Упрощение и обобщение! Упрощение и обобщение! — приговаривал он, похлопывая себя по животу, словно только что съел что-нибудь вкусное.

Потом он придумал другие числа, и опять другие. И каждый раз, вычислив Икс, выкрикивал те же слова и снова хлопал себя по животу. Забыл он, что ли, что теперь в самый раз разобраться в задаче зеленого стручка и попробовать составить уравнение самим?! Пришлось обратиться к талисману. В последнее время он что-то совсем притих — лежит себе в кармане и помалкивает. Видно, не считает нужным вмешиваться. Я вынул его и поднес к самому Севиному носу. Увидев стручок, Сева снова хлопнул себя — на этот раз по лбу, — и через несколько минут мы уже сидели на скамейке в Парке Науки и Отдыха.

Ну вот и все пока. Наберись терпения и подожди следующего письма. Так всегда делают в журналах — прерывают рассказ на самом интересном месте и пишут: «Продолжение следует».

Олег.

Дорогие ребята! Вся наша школа страшно волнуется. Как-то вы раскроете тайну Черной Маски? Но больше всех переживаю я: может быть, сейчас вы уже расколдовываете моего незнакомца. Когда чего-нибудь ждешь, время тянется ужасно медленно. Прямо не знаешь, куда деваться. Вот мы и решили обмануть время и чем-нибудь заняться.

А так как на уме у нас только составление уравнений, мы захотели сами придумать какую-нибудь задачу.

Эту мысль нам подсказал Пончик. Я с ним очень подружился. Не могу даже подумать что скоро нам придется расстаться!

Так вот, я заметил, что путь в Аль-Джебру и обратно занимает у Пончика все больше времени. Каждый раз он все дольше задерживается в дороге с письмами. Наверное, потому, подумал я, что вы постоянно продвигаетесь вперед. Последний раз Пончик вернулся только через тридцать четыре часа.

Мы решили выяснить, как далеко вы ушли. Расставили наблюдателей с часами, и они подсчитали, что Пончик мчится прямо-таки с космической скоростью: двенадцать километров в час!

Потом мы стали думать, сколько времени он проводит у вас в Аль-Джебре. Наверное, столько же, сколько и у нас. Минут сорок.

Теперь слушайте, как мы составили уравнение. Во-первых, что мы ищем? Мы ищем расстояние. Его-то и приняли за икс. А так как Пончик бежит со скоростью двенадцать километров в час, то на путь к вам он затратит х/12 часов, или 1/12*х часов. Стало быть, на два конца уйдет вдвое больше времени, то есть 2/12 * х часов.

Прибавим к этому 40 минут, которые Пончик пробудет в Аль-Джебре. Получится: 2/12*х+40.