Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Страница 4

Прямые, которые рассматриваются в современной геометрии, тем не менее имеют длину, считающуюся актуально бесконечной, и они тянутся непрерывно без начала и конца. Заметим, что такую линию невозможно изобразить.

Интересно, что все группы или величины, связанные с природными явлениями, никогда не являются актуально бесконечными, напротив, большинство из них конечны, и лишь очень малая часть — бесконечны, но только в потенции. Так, согласно принятым на сегодняшний день физическим теориям материя не является бесконечно делимой. Каждый атом состоит из определенного количества элементарных неделимых частиц. Возможно даже, что ни время, ни пространство не делимы бесконечно.

С другой стороны, космологи утверждают, что объем и диаметр Вселенной вполне могут быть потенциально бесконечными (диаметр Вселенной — это наибольшее расстояние, которое можно измерить, между двумя ее точками).

Число песчинок, содержащихся в шаре, равном миру, меньше тысячи единиц чисел «седьмых» [это единица с 51 нулем, огромное, но конечное число].

Архимед, «Псаммит»

Если верно, что Вселенная будет продолжать расширяться неопределенное количество времени, то и ее возраст в секундах будет потенциально бесконечен. Продолжая пример с писцами, представим, что они записывают по числу на каждую секунду, прошедшую с момента Большого взрыва. Список запротоколированных секунд постоянно возрастал бы, оставаясь при этом конечным.

Резюмируя, скажем, что время, материя и пространство были бы конечны или, максимум, бесконечны в потенции. Поэтому неудивительно, что в IV веке до н.э. Аристотель утверждал, будто актуальной бесконечности не существует.

РИС.1

Аристотель первым стал исследовать различие между «потенциальным бытием» и «актуальным». Можно сказать, что ребенок — это потенциальный взрослый, а глыба мрамора — потенциальная скульптура. Когда ребенок вырастает, он становится «актуальным» взрослым; скульптор превращает мрамор в актуальную скульптуру. «Звание потенциального мудреца равно дается и тому, кто ничего не изучает», — утверждает Аристотель в книге IX своей «Метафизики», видимо с долей иронии. В том же труде он говорит о бесконечности: 

«Беспредельное же существует в возможности не в том смысле, что оно когда-то будет существовать отдельно в действительности». 

Таким образом, бесконечность всегда существует потенциально, в возможности, но никогда не бывает актуальной. На протяжении более двух тысяч лет, точнее до середины XIX века, аристотелевское отрицание актуальной бесконечности поддерживали почти все западные ученые — и философы, и математики. Поэтому стоит задержаться по крайней мере на двух аргументах, приведенных Аристотелем для обоснования своего утверждения.

Не следует, однако, понимать бытие [бесконечного] в возможности [в том смысле], что как вот этот [материал] есть статуя в возможности, поскольку он [на деле] может стать статуей, так же может стать актуально существующим какое-нибудь бесконечное.

Аристотель, «Физика»

В книге III «Физики» Аристотель говорит, что существование актуальной бесконечности недопустимо, поскольку во Вселенной нет ни одного тела с бесконечным объемом, ни одного промежутка времени с бесконечной длительностью, другими словами, нет актуально бесконечных величин. Аристотель подкрепляет это несуществование философскими рассуждениями. Однако не будем останавливаться на них, поскольку современная физика соглашается с древнегреческим ученым. Например, если объем Вселенной бесконечен только в потенции, в ней не может быть тела с актуально бесконечным объемом.

Поскольку не существует бесконечных величин, нет смысла говорить об «актуально бесконечных числах» или об «актуально бесконечном количестве», ведь они ничего бы не измеряли и были бы лишены всякого смысла.

Сопоставим рассуждения Аристотеля (определявшие европейскую науку тысячи лет) с процитированным в начале главы письмом, в котором Кантор сообщает Дедекинду, что он пришел к «самым удивительным, самым неожиданным идеям» в теории бесконечных чисел. Это противоречие является первой причиной такой революционности и такого количества противников. Второй аргумент, который мы прокомментируем, Аристотель приводит в книге VIII «Физики»: неверно, что отрезок состоит из бесконечного числа точек. Ученый приводит философское доказательство, но оно также может быть перенесено в область математики. Уточним, что говоря «точка», мы подразумеваем «математическую точку», то есть объект, не имеющий длины, ширины и высоты. «Орфографическая точка», которая ставится в конце предложения, не является математической — это просто очень маленькая окружность, точнее цилиндр, нарисованный чернилами, с очень маленьким, но не нулевым основанием и очень маленькой, но не нулевой высотой (см. рисунок 2). В случае с математической точкой ее длина по определению всегда равна нулю. Если мы соединим несколько точек, их общая длина будет равна 0 + 0 + 0 + 0 +... Не важно, сколько раз мы сложим нули — определенное число или бесконечное (даже если бы это было возможно), — сумма всегда будет равна нулю. Итак, если бы отрезок состоял из точек, он имел бы нулевую длину. Тем не менее мы знаем, что длина отрезков больше нуля, значит, они не могут состоять из точек. Мы вернемся к этому парадоксу в главе 3. Получается, что отрезок невозможно разделить на бесконечное количество частей. Возьмем отрезок длиной 10 см и разделим его на 10 одинаковых частей. Каждая из них будет равна 1 см. Если мы разобьем его на 100 равных частей, каждая будет равна 0,01 см. Если же мы разобьем его на бесконечное количество частей, каждая из них будет равна 0 см. Получится, что отрезок состоит из частей, равных нулю. Это невозможно, следовательно его нельзя разделить на бесконечное число частей.

Аристотель говорит, что этот второй аргумент доказывает существование бесконечности по делению (нельзя разделить объект на бесконечное количество частей), а первый аргумент — по сложению (не существует бесконечно больших величин). В любом случае, заключает он, актуальной бесконечности не существует.

РИС. 2

Начиная со Средневековья положение Аристотеля о бесконечности стало практически религиозной догмой. Например, в V веке Святой Августин (354-430) в самом знаменитом своем труде «О граде Божием» писал: «Неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности», не следует «признавать их не подлежащими божественному ведению, [...] мы не должны сомневаться в том, что Ему известно всякое число», хотя бы потому, что «разум Его неизмерим». Таким образом, актуальная бесконечность существует, но ее знание подвластно только безграничному разуму Бога. Требовать от человеческого разума понимания бесконечности — означает поставить его в один ряд с божественным, что является ересью. Георг Кантор был религиозным человеком и отдавал себе отчет в том, что касается этой стороны вопроса. Как мы увидим, развитие собственной математической теории актуальной бесконечности стоило ему немалых душевных усилий.

Теперь перенесемся во времени и рассмотрим работу Галилео Галилея (1564-1642) «Беседы и математические доказательства относительно двух новых наук» (1638). Как видно из названия, она написана в форме дискуссий. В них участвуют три персонажа: Сальвиати, выражающий точку зрения Галилея, Сагредо, образованный человек той эпохи, и Симплицио, представитель традиционной науки, основывающейся в том числе на трудах Аристотеля.